Matematica inversa
La Matematica Inversa è un ramo della matematica che si occupa di determinare quali sono gli assiomi minimi necessari per dimostrare un teorema particolare. Serve a determinare la teoria base che costituisce la matematica. Molti dichiarazione matematiche sono equivalenti all'assioma basee quindi non sono necessarie per dimostrare la Matematica InversaLa maggior parte della matematica può essere formalizzate nell'aritmetica di secondo grado e nei famosi teoremi dimostrati in ACA0, che è definita nell'aritmetica di Peano anche se questa è sovrabondante come assiomi necessari per le dimostrazioni.
Insiemi più ampi dei numeri reali, compresi tutti gli insiemi di Borel, possono essere codificati dai numeri reali con un rapporto di insieme dei membri esprimibile con l'aritmetica di secondo grado. La differenza primaria fra la matematica classica nella teoria degli insiemi (ZFC) e nell'aritmetica di secondo grado è che nell'aritmetica di secondo grado si occupa dei codici degli insiemi invece che di regole (tranne gli insiemi dei numeri interi). Con una formalizzazione corretta, la maggior parte dei teoremi generali sono realmente equivalenti all'assioma canonico minimo richiesto per la loro prova. La maggior parte dei risultati di base nell'analisi e nell'algebra sono provabili in WKL0, che ha la stessa consistenza dell'aritmetica ricorsiva primitiva e in cui la funzione ricorsiva di verifica del repertorio consiste delle funzioni ricorsiva elementare. I teoremi aritmetici di base possono essere dimostrati nell'aritmetica di funzione esponenziale, EFA, che oltre agli assiomi di base per somma, la moltiplicazione e l'elevamento a potenza, include l'assioma di induzione per le formule limitate da qualificatori. EFA basta, tra l'altro, per dimostrare che la teoria dei campi chiusi reali è completa e quindi anche la geometria classica, è completa.
